INDEX

              INDEX PRINCIPAL

Présentation du B E

          Mode de fonctionnement

             Mode de fonctionnement (suite)

           Auteur

I Missile balistique

         Triangle sphérique

         Notations

         Relations trigonométriques (suite)

         Trigonométrie sphérique

II  CALCUL DE LA PORTEE ANGULAIRE ET DE LA DISTANCE PARCOURUE PAR LE MISSILE BALISTIQUE

 III VISUALISATION ET CALCUL DE L'AZIMUT DE TIR

        Azimut

        Visualisation de l'azimut

        Visualisation du plan de tir

        Inclinaison orbitale

        Repère E N Z

 IV Calcul de ω et Ω

 V MISSILE D'ENERGIE MINIMALE

           Définition bifocale de l'ellipse

           Figure associée à la définition bifocale

 VI TEMPS DE VOL et CALCUL DE LA CIBLE REELLE

 VII PRISE EN COMPTE DE LA ROTATION TERRESTRE

          Itération sur la cible

TIR QUELCONQUE

          Figure

TRAVAIL PERSONNEL DE REVISION


               Présentation du B E

            MISSILE BALISTIQUE

   CALCUL DES PARAMETRES ORBITAUX

                        ET DE LA CIBLE

                       MECANIQUE SPATIALE

                               Bureau d'étude destiné aux EA1.

                                Auteur GUIZIOU Robert

                                           Avril 1994


                   Mode de fonctionnement

  Ce bureau d'études  est destiné à illustrer de manière concrète, visuelle et   pratique le calcul des paramètres orbitaux de la trajectoire d'un missile après le tir, avec utilisation:

des vecteurs fondamentaux h, n, e.

des paramètres orbitaux,

  	les mouvements képlérien et l'anomalie excentrique,

de programmes Matlab ou *.exe en Pascal

   Votre travail avec le logiciel est interactif.

   Vous ferez des calculs

 	soit avec l'ordinateur

                  soit avec votre machine

                        ou la calculatrice  de windows.


   Mode de fonctionnement (suite)

  Vous pourrez aussi vérifier vos résultats de calcul et obtenir éventuellement une aide.

Vous obtiendrez des explications de trois façons:

  En mode hypertexte en "cliquant" les mots en  souligné continu vert

  En mode pop-up en "cliquant" les mots en  souligné pointillé vert

 En mode [image] : pour visualiser un [image] ou une

 pour lancer un [image] ,exécuter une

En mode Hypergraphique sensible par zones


                   AUTEUR


                        Mode hypertexte

  Quand vous rencontrez un mot important en surbrillance verte souligné en continu vous pouvez:

 soit, ignorer la suite si vous connaissez le sujet

 soit "cliquer" deux fois avec la souris sur ce mot.

    Vous recevrez alors un complément d'information en général un rappel de cours ou une définition ou des relations difficiles à mémoriser.

  Cette action vous amène alors vers un nouveau texte explicatif qui peut lui-même contenir des mots en surbrillance verte et ainsi de suite.  Le chemin inverse se fait ensuite simplement en "cliquant" sur le bouton précédent du bandeau  pour revenir au point souhaité.


Mode pop up
Mode pop-up

  Quand vous rencontrez un mot important en surbrillance verte souligné en discontinu vous pouvez soit ignorer la suite si vous connaissez le sujet, soit "cliquer" deux fois avec la souris sur ce mot.

  Vous recevrez alors un complément d'information court, une définition ou des relations difficiles à mémoriser, dans une fenêtre en surimposition sur celle de travail.

  Le chemin inverse se fait ensuite simplement en "cliquant" n'importe où dans l'espace de travail.


                    Missile balistique

  Ce bureau d'étude est un exercice difficile surtout par la visualisation et les représentations géométriques qu'il demande. Il sera résolu de manière très lente et progressive pour bien permettre de visualiser les paramètres orbitaux angulaires notamment.

I. TRIGONOMETRIE SPHERIQUE

Il est nécessaire d'établir quelques relations angulaires dites de trigonométrie sphérique, utiles au calcul.

On se donne une sphère de rayon unité, de centre O et trois grands cercles qui délimitent par leur intersection un TRIANGLE SPHERIQUE ABC sur cette sphère avec trois cotés curvilignes.


                                                   TRIANGLE SPHERIQUE

A, B, C sont les angles au sommet, entre les tangentes aux grands cercles.  a, b c sont les angles au centre sous lesquels on voit respectivement BC, CA, AB.


NOTATIONS
           NOTATIONS:

         A, B, C s'appellent les sommets

L'angle (inférieur à 180°) entre les tangentes aux deux grands cercles 	passant par A s'appelle angle au sommet Â.

L'angle arithmétique, inférieur à 180°, sous lequel "on voit" le coté 	curviligne BC, depuis le centre O s'appelle l'angle au centre a.

1°) Etablir les relations trigonométriques:

accès ultérieur par un bouton


Conseil pour question 1°

Exprimez de deux façons différentes le produit

scalaire des vecteurs OB et OC.

Pour la deuxième relation tirez cosÂ dans la première

 et exprimez la quantité

pour obtenir une expression invariante par permutation

circulaire sur a, b, c.


Relations trigonométriques (suite)

2°) On admettra pour ne  traiter l'essentiel, que des calculs de transformation classiques conduisent dans le cas particulier où l'angle Â est droit à:


         Trigonométrie sphérique


II  CALCUL DE LA PORTEE ANGULAIRE ET DE LA DISTANCE PARCOURUE PAR LE MISSILE BALISTIQUE
II. CALCUL DE LA PORTEE ANGULAIRE ET DE LA DISTANCE PARCOURUE PAR LE MISSILE BALISTIQUE

Le tir du missile a lieu le 29 mars 1994 à 9 h 32 mn 50 s

La base et la cible sont supposées sur la surface terrestre.

On appelle α la portée angulaire et D la distance sol horizontale parcourue.

1°) Calculer la portée α en fonction de Lo, L1, λo, λ1.

Application numérique: Que valent α en degrés et D en km?


                     CONSEIL 1

Il faut considérer le triangle sphérique constitué

du pôle nord et des deux points B et C de départ

et d'arrivée du missile.

Les angles Â, b, c sont connus.


            REPONSE II 1°)

Considérant le triangle sphérique constitué

du pôle nord et des deux points B et C de départ

et d'arrivée du missile où les angles Â, b, c sont

connus on a.

cosα = sinλο sinλ1 + cosλο cosλ1 cos(L1-Lo)

Application numérique:

α = 49°.44                     D = 5503.5 km


III VISUALISATION ET CALCUL DE L'AZIMUT DE TIR
      III . VISUALISATION ET CALCUL DE L'AZIMUT DE TIR

2°) Visualiser sur un dessin l'azimut β0 du tir au point de départ B ainsi que l'azimut d'arrivée β1en C. (voir également la figure dans le plan de tir)

Donner les formules littérales permettant d'obtenir ces deux angles.

Application numérique.

3°) Calculer numériquement l'inclinaison orbitale i du tir

soit en cherchant un vecteur normal au plan orbital

mieux en résolvant un triangle sphérique ayant pour sommet un 	noeud de la trajectoire et l'un des points B ou C, et comme dernier 	sommet l'intersection H du méridien et de l'équateur.


                   AZIMUT

                 (voir repère ENZ)

On rappelle les deux définitions de l'azimut

1 - Angle mesuré positivement à partir du nord local

vers l'est de la projection horizontale V'o de la vitesse avec le nord local.

2 - Angle entre le plan méridien et le plan orbital mesuré

positivement vers l'est.

NB: Tir plein est β = 90°

       Tir vers le nord β = 0°

       Tir héliosynchrone β < 0°

        Tir Ariane GTO β > 90°


Visualisation de l'azimut

  Voir pente  et repère ENZ


                                          Rappel azimut β

C'est l'angle entre la direction locale du nord et

la projection horizontale de la vitesse

Ou encore c'est l'angle entre le plan de tir et le

plan méridien

Cet angle est mesuré positivement vers l'est.

Un tir "plein est" a un azimut de 90 degrés


                                                 Vitesse horizontale

V'o est la projection horizontale de la vitesse absolue Vo.

Ou encore c'est la composante orthoradiale (Vocosγ)

L'angle entre V'o et Vo est la pente de montée γ, ou

encore angle de tir.

L'angle entre V'o et la direction locale du nord (méridien)

est l'azimut de tir


        CONSEILS 2° et 3°

Pour 2° utilisez la relation des sinus.

Pour 3° placez-vous dans un triangle sphérique

possédant un angle droit NHB ou NKC. Vous

redécouvrirez la relation vue en cours.

       cos i = cos λο sin βο =  cos λ1 sin β1

qui entraîne que l'inclinaison  orbitale est toujours

supérieure ou égale à la latitude du point d'injection

posant donc un problème lorsqu'à partir d'une base

non équatoriale on veut réaliser une mission

géostationnaire.


Réponse 2
                           Réponse 2°

Application numérique:

               βo = 40°.4  et   β1 = 180°-71°.35= 108.65


              INCLINAISON ORBITALE


                          Réponse 3°

N est le noeud ascendant du tir étudié et l'inclinaison

orbitale i apparaît en N. Le calcul se fait dans le triangle

NKC (ou dans NDH) lequel fournit grâce aux relations

de trigonométrie sphérique:

       cos i = cos λο sin βο =  cos λ1 sin β1

On notera que l'azimut de la vitesse en C est π−β1

Application numérique: i = 52°.48

Remarque: on peut aussi, mais c'est plus long,

rechercher un vecteur normal au plan orbital

grâce aux vecteurs OB et OC.


          Repère E N Z


                             Axes

FIXES:

I ligne vernale fixe, pointe l'étoile Ariés

K axe nord-sud de la terre

J dans le plan équatorial de la terre

VARIABLES:

E direction de l'est, tangent au parallèle

N nord local tangent au méridien

Z zénith ou verticale ou rayon vecteur

E,N est le plan horizontal du lieu


                        DETAILS SUR LES ANGLES

lg(t) est l'heure sidérale de Greenwich	donnée par les

éphémérides de la date

Lo est la longitude, λo la latitude, αo est l'heure sidérale du

méridien de la position.


     Visualisation du plan de tir


IV Calcul de w et W
                                   IV. Calcul de ω et Ω

 4°) Calculer numériquement la longitude Greenwich du noeud ascendant N à l'instant to, en utilisant le triangle sphérique de 3°.

Le tir du missile a lieu le 29 mars 1994 à 9 h 32 mn 50 s.

Les éphémérides de cette date donnent l'heure sidérale de Greenwich

En déduire la longitude vernale Ω du noeud ascendant du plan de tir.

5°) Calculer ω argument nodal du périgée en remarquant :

que l'apogée du tir est nécessairement au milieu du parcours balistique

en utilisant encore le triangle sphérique de 3° et se mesure positivement de 	0 à 360° dans le sens du mouvement


           Réponse 4°

L'angle NOK noté ΔL sur la figure se  calcule

aisément par la relation des sinus dans le triangle

sphérique KNC. Le calcul donne

ΔL1=16°.23 et donc LG(N) = L1- ΔL1=-26°.23

         aussi par LG(N) = Lo- ΔLo

lg(29/03/1994 9 h 32 mn 50 s)= 329°,76

Ω = lg + LG(N) = 329°.76-26°.23 = 303°.(3


           Réponse 5°

L'apogée A est situé au milieu de

la trajectoire de vol donc

          BOA = α/2.

ω = NOC - α/2+180

Dans le triangle sphérique NKC

NOC=74°.98

               ω = 230°.26


                          V MISSILE D'ENERGIE MINIMALE

Idée: La vitesse de tir Vo doit donc être minimale pour cette  portée a fixée

6°) Montrer en utilisant la définition bifocale de l'ellipse que:

la trajectoire admet comme second foyer F le milieu de BC.

la vitesse de tir Vo, l'excentricité e et  l'angle de tir γo sont donnés par:

Application numérique:


          Remarque1

Observez sous le radical la quantité

représentant la vitessse de libération

au niveau du sol (environ 11.18 km/s).

De plus vous notez que pour α = π la

vitesse Vo est la vitesse d'orbitation

circulaire.


        Remarque2

Vous noterez que pour    α = π  l'excentricité est nulle, on retrouve

et c'est normal que la trajectoire est un cercle rasant la terre.


              Remarque3

Observez que pour  α = π   l'angle de tir est nul, puisque la trajectoire d'énergie minimale est un cercle, rasant une terre supposée idéalement sphérique.

Résultat normal au vu des deux remarques précédentes


    Définition bifocale de l'ellipse

DEFINITION: On rappelle qu'une ellipse est l'ensemble

des points du plan dont la somme des distances à deux

points O et F fixes, appelés foyers, est constante et égale à 2a.

a est le demi grand axe de l'ellipse. voir figure

PROPRIETE DE LA TANGENTE: La tangente à une ellipse

en un point M est la bissectrice extérieure de l'angle des rayons

vecteurs MO et MF.


Reponse 6°
                        Réponse 6°

Tout repose sur l'hypothèse d'un tir à vitesse minimale

donc l'énergie spécifique est minimale, entraînant a

minimal

AN: α = 49°.44 ==> a = 4522.6 km       c = 2896.8 km     e = 0.644058

Vo = 11.18*0.543022 = 6.071 km/s


VI TEMPS DE VOL et CALCUL DE LA CIBLE REELLE
                                     VI TEMPS DE VOL

                             CALCUL DE LA CIBLE REELLE

7°) Une détermination complète de la trajectoire nécessite la connaissance d'un dernier paramètre par exemple l'anomalie excentrique ϕ ou l'angle polaire θ du point B au temps to.

Montrer que ϕ = π - Arccos e et que le temps de vol vaut:

Vous déduirez de tous vos calculs le temps de vol de B à C et l'altitude atteinte par le missile à son apogée.


                             Réponse 7°

Il est évident que θ mesuré dans le sens du mouvement vaut π − α/2.

Vous avez déjà calculé e en fonction de α, donc en transformant légèrement les expressions vous obtiendrez le résultat espéré.

Le calcul du temps de parcours est aisé τ = T - 2 t(P à B)

On trouve

Numériquement :  τ = 1317 s


VII PRISE EN COMPTE DE LA ROTATION TERRESTRE
.

      VII PRISE EN COMPTE DE LA ROTATION TERRESTRE

Vous avez sûrement réalisé que du fait de la rotation terrestre, ce n'est pas la cible visée qui est atteinte mais un point de la terre situé sur le même parallèle,

à l'ouest de la cible.

Vous imaginerez donc une méthode itérative de calcul des coordonnées géographiques L*,λ* du point fictif C* qu'il faut viser pour atteindre la cible physique réelle C.

Réalisez les calculs en exécutant le programme MISSILE.EXE ci dessous

Donnez alors la portée réelle du tir et relevez les paramètres du tir réel.

Calculez alors les vrais paramètres orbitaux à l'aide du bouton programme TIR_PARW.EXE


Figure associée à la définition bifocale


               Itération sur la cible


             Figure


                       Tir quelconque

Nous n'avons envisagé jusqu'à présent que le tir d'énergie minimale. Maintenant nous abordons le cas d'un tir quelconque.

On notera:

α la portée, Vo la vitesse de tir, γο l'angle de tir, ro = RT le rayon vecteur au niveau de la terre, Q une variable sans dimension définie par:

1°) Vous montrerez :

a) Que 0 < Q < 2  pour les trajectoires fermées elliptiques

b) Que le demi grand axe a vaut :

c) Que l'excentricité e est donnée par :

d) Que la portée a s'exprime par

2°) En utilisant la définition bifocale de l'ellipse et en exprimant de deux manières différentes la distance BH du point de départ à la projection H de ce point sur le grand axe, montrer que l'angle de tir vérifie:


      Conseil 1

Ecrire la conservation de l'énergie

et passer en variales réduites.


        Conseil 2

Utilisez la loi des aires et le lien entre

le paramètre p et le demi grand axe a.

                    p=a(1-e^2)


          Conseil 3

Remarquer que l'angle polaire θ vaut π − α/2

et exprimer le rayon vecteur ro par l'équation

polaire de l'ellipse.


            Solution

A partir de l'équation liant les angles , exprimer

que γo doit exister et être unique lorsque α est

donné.

On arrive alors à:


TRAVAIL PERSONNEL DE REVISION
         VERIFICATION DES CALCULS

Une excellente exercice consiste à vérifier, aux points de départ et d'arrivée du missile, la relation

Une autre étude intéressante à réaliser mais avec des moyens plus puissants consiste à calculer :

Les conditions d'injection r et V dans le repère ENZ

La matrice de passage P de la base géocentrique IJK à ENZ

Le rayon vecteur r et la vitesse V dans IJK

Les paramètres orbitaux par les formules classiques du cours.